刚体就是 "刚性物体"，它在运动过程中，内部各质点间的相对位置不会改变，也即 每两个质点间的距离 保持不变

    假设刚体内任意两个质点，坐标分别为 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$，则在刚体运动过程中，它们满足如下条件：

    $\quad \left( (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 \right) |_t = l^2$

    例如：影视剧《西游记》中的法宝金刚琢、玉净瓶是刚体；而幌金绳、芭蕉扇等，则不是刚体

1  刚体变换

1.1  矩阵形式

    OpenCV 之 图像几何变换 中的等距变换，实际是二维刚体变换

    $\quad \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & t_x \\ \sin \theta & \cos \theta & t_y \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1\end{bmatrix}$

    从平面推及空间，三维刚体变换的矩阵形式为

     $\quad \begin{bmatrix}x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_x \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_y \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} &t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\z \\ 1\end{bmatrix}$   

    例如：空间中一点，在相机坐标系中为 $^cP$，求其在世界坐标系中的坐标 $^wP$，则有 $^wP = R \bm{\cdot} {^cP} + t$

    其中，坐标系 {W} -> {C} 就是一个刚体变换，可记为 $^w_cT$

1.2  约束分析 

    $R$ 和 $t$ 共有 12 个未知数，但 R 是标准正交矩阵，自带 6 个约束方程，则刚体变换有 12 - 6 = 6 个自由度 (和直观的感受一致)

    表面上看，似乎只需 2 组空间对应点，联立 6 个方程，便可求得 6 个未知数，但这 6 个方程是有冗余的 (因为这 2 组对应点，在各自的坐标系下，两点之间的距离是相等的)

    因此，第 2 组对应点，只是提供了 2 个约束方程，加上第 1 组对应点的 3 个约束，共有 5 个独立的方程

    显然，还需要第 3 组对应点，提供 1 个独立的方程，才能求出 R 和 t

    如图所示，两个刚体之间：1个点重合 => 3个自由度；2个点重合 => 1个自由度；3个点重合=> 0个自由度  

    OpenCV 中有一个函数 estimateAffine3D() 可求解刚体变换的矩阵

1.3  直观理解

    一个单位立方体，可在 X-Y-Z 坐标系中自由运动，则运动前后的转换关系，可视为刚体变换

    单点重合：当立方体的角点 0 和 X-Y-Z 坐标系的原点 O 重合时，立方体还能自由的旋转 (X 轴 -> Y 轴 -> Z 轴)

    两点重合：除了立方体的角点 0 和坐标系的 原点 O 重合外，再令角点 4 和 X 轴上的某点重合，则此时立方体只能 绕 X 轴旋转

    三点重合：除了以上两个角点 0 和 4，如果再使角点 1 和 Z 轴上的某点重合，则立方体就会和 X-Y-Z 坐标系 牢牢的连接在一起

    因此，选取不共面的三组对应点，联立方程组，便可求得 R 和 T  

2  旋转向量

    任意的旋转，都可用一个旋转轴 (axis) 和 绕轴旋转角 (angle) 来描述，简称“轴角”

    因此，可用一个方向和旋转轴一致，长度等于旋转角的向量来表示旋转，这个向量称为旋转向量 (或“旋量”)

    假定旋转轴  $\mathbf{n} = [r_{x}, r_{y}, r_{z}]$，旋转角  $\theta$，则旋转向量为 $\theta \mathbf{n}$；旋转向量到旋转矩阵的转换，可由罗德里格斯公式实现，如下：

    $\quad R = cos(\theta) I + (1 - cos \theta) \mathbf{nn^T} + sin \theta \begin{bmatrix} 0&-r_z&r_y \\ r_z&0&-r_x \\ -r_y&r_x&0 \end{bmatrix}$

    反之，从旋转矩阵到旋量，公式如下：

    $\quad \sin \theta \begin{bmatrix}0 &-r_z&r_y \\r_z&0&-r_x \\-r_y & r_x &0 \end{bmatrix} = \dfrac{R - R^T}{2}$

    OpenCV 中有一个 Rodrigues() 函数，可实现二者的相互转换         

3  欧拉角

3.1  定义

    假定平面内有一点 P， 旋转 $\theta$ 角到 $P^{\prime}$ 位置，如下图：    

    取 $\angle$POX = $\theta_0$，列方程组得

    $\quad x^{\prime} = r \cos (\theta_0 + \theta) = r \cos \theta_0 \cos\theta - r \sin \theta_0 \sin\theta = x \cos\theta - y \sin \theta$ 

    $\quad y^{\prime} = r \sin(\theta_0+ \theta) = r \sin\theta_0 cos \theta + r \cos \theta_0 \sin\theta = x \sin \theta + y \cos \theta$ 

    转化为矩阵形式  $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

3.2  欧拉角

    将二维旋转矩阵 $R_{2 \times 2}$ 扩展到三维空间

    1）绕 Z 轴旋转 roll，则添加 z 坐标 $\pmb{R_z} = \begin{bmatrix} cos \theta_z & -sin \theta_z & 0 \\ sin \theta_z & cos \theta_z & 0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

    2）绕 Y 轴旋转 yaw，则添加 y 坐标  $\pmb{R_y} = \begin{bmatrix} cos \theta_y & 0 & \color{blue}{sin \theta_y} \\ 0 & 1 & 0 \\ \color{blue}{-sin \theta_y} & 0 & cos \theta_y \end{bmatrix}$

    3）绕 X 轴旋转 pitch，则添加 x 坐标  $\pmb{R_x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &cos \theta_x & -sin \theta_x \\ 0 & sin \theta_x & cos \theta_x \end{bmatrix}$

    因此，当按 Z-Y-X 的顺序旋转时，一个旋转矩阵就被分解成了绕不同轴的三次旋转，旋转角称为 "欧拉角"

    $\quad R = R_z \cdot R_y \cdot R_x = \begin{bmatrix} cos \theta_y cos \theta_z & sin \theta_x sin \theta_y cos \theta_z - cos \theta_x sin \theta_z & sin \theta_x sin \theta_z + cos \theta_x sin \theta_y cos \theta_z \\ cos \theta_y sin \theta_z & cos \theta_x cos \theta_z + sin \theta_x sin \theta_y sin \theta_z & cos \theta_x sin \theta_y sin \theta_z - sin \theta_x cos \theta_z \\ -sin \theta_y & sin \theta_x cos \theta_y & cos \theta_x cos \theta_y \end{bmatrix}$，

    注意：在使用欧拉角时，要先指明旋转的顺序，因为绕不同的轴旋转时得到的欧拉角也不同

    反之，由旋转矩阵求解欧拉角，则有：

    $\quad \theta_x = tan^{-1} (\dfrac{r_{32}}{r_{33}})$

    $\quad \theta_y = sin^{-1} (-r_{33})$

    $\quad \theta_z = tan^{-1} (\dfrac{r_{21}}{r_{11}})$ 

3.3  代码实现

    已知绕三个轴旋转的欧拉角，要转换为旋转矩阵，直接套用公式

    旋转矩阵到欧拉角的转换，要指明旋转顺序 (Z-Y-X 或 X-Y-Z 等 6 种)，下面代码实现了和 MATLAB 中 rotm2euler 一样的功能，只是旋转顺序不同 (X-Y-Z)

4  四元数

4.1  定义

    四元数本质是一种高阶的复数，普通复数有一个实部和一个虚部，而四元数有一个实部和三个虚部

    $\quad q = s + x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$，其中 $\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{ijk}=-1$

    平面中任一点的旋转，可通过“左乘” 旋转向量来表示，如下：

    $\quad p = a + b \mathbf{i}$，$q = cos \theta + \mathbf{i} sin \theta$ 

    $\quad p^{\prime} = qp = a\cos\theta-b\sin\theta+(a\sin\theta+b\cos\theta)i$

    推及空间中任一点的旋转，可通过“左乘”四元数来表示，如下：

    $\quad p = [0, a \mathbf{i} + b \mathbf{j} + c \mathbf{k}]$，$q = [cos \theta, sin \theta \mathbf{v}  ]$，其中 $\mathbf{v}$ 由 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 组合而成

    $\quad p^{\prime} = qp$

4.2  实例

    例1：当向量 p 围绕 k 轴在 i-j 平面内旋转 45°，表示该旋转的四元数为

    $\quad q = \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{k} \right]$

    取 $p = [0, 2 \mathbf{i}]$，则 $p^{\prime} = qp = [0, \sqrt{2}\mathbf{i} + \sqrt{2} \mathbf{j}]$，如下图 p' 确实是 p 围绕 $\mathbf{k}$ 轴旋转 45° 得到的

    例2：当向量 p 围绕 q 旋转 45°，且 q 中的向量 v 在 i-k 平面内和 p 成 45° 时，表示该旋转的四元数为

    $\quad q = \left[ \dfrac{\sqrt{2}}{2},  \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{i} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{k} \right) \right]$

    取 $p = [0, 2 \mathbf{i}]$，则 $p^{\prime} = qp = [-1,\sqrt{2}\mathbf{i}+\mathbf{j}]$，可看出 $p^{\prime}$ 中向量模长为 $\sqrt{3}$，这不再是一个纯旋转的变换

    但如果再“右乘” $q^{-1}$，则 $p^{\prime} = qpq^{-1} = [0,\mathbf{i}+\sqrt{2}\mathbf{j}+\mathbf{k} ]$，如下图，这又变成了一个纯旋转，但是旋转的角度是 90° 不是 45° 

     综上所述，向量 p 围绕任一轴 $\mathbf{v}$ 旋转 $\theta$，则表示该旋转的四元数形式为

     $\quad q=\left[\cos\dfrac{\theta}{2},\sin\dfrac{\theta}{2} \mathbf{v}\right]$    

4.3  转换关系

    假定四元数 $q = s + x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$，则旋转矩阵为

    $\quad R = \begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-sz)&2(xz+sy)\\2(xy+sz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-sx)\\2(xz-sy)&2(yz+sx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}$

    或另一种形式

    $\quad R = \begin{bmatrix} s^2 + x^2 - y^2 -z^2 & 2(xy - sz) & 2(xz + sy) \\ 2(xy +sz) & s^2-x^2+y^2-z^2 & 2(yz - sx) \\ 2(xz-sy) & 2(yz+sx) & s^2-x^2-y^2+z^2 \end{bmatrix}$

    OpenCV 中实现的函数 quat2rot() 如下：   

     反之，由旋转矩阵转换为四元数，其实现函数 rot2quat() 如下：

附 - 欧拉角可视化

   一个欧拉角的可视化链接 Euler Angle Visualization Tool，输入欧拉角可实时显示位姿变化

参考资料

  《An Invitaton to 3D Vision》 ch2

  《Robot Vision》ch13

    OpenCV - 3D rigid/afine transforamtion

    Understanding Quaternions

    Rotation Matrix To Euler Angles

    An Orge compatible class for euler angles